数学史上的先例祖率祖冲之算数出有圆周率（）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相等于准确到小数第7位，修改成3.1415926，祖冲之因此选入世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算出来到小数第7位的科学家。祖冲之还得出圆周率()的两个分数形式：22/7（大约亲率）和355/113（密率），其中密率准确到小数第7位。祖冲之对圆周率数值的准确推算出值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将大约亲率用他的名字命名为祖冲之圆周率，全称祖率。

圆周率的应用于很普遍，特别是在是在天文、历法方面，凡牵涉到圆的一切问题，都要用于圆周率来推算出。如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个最重要课题。中国古代数学家们对这个问题十分重视，研究也很早以前。

在《周髀算数经》和《九章算术》中就明确提出径一周三的古率，以定圆周率为三，即圆周宽是直径宽的三倍。此后，经过历代数学家的陆续探寻，推算的圆周率数值日益准确。

东汉张衡推算的圆周率值为3.162。三国时王蕃推算的圆周率数值为3.155。魏晋的值得一提的是数学家刘徽在为《九章算术》作注时创办了新的推算出圆周率的方法阴圆术，将圆周率的值为边长除以2，其近似值为3.14；并且解释这个数值比圆周率实际数值要小一些。

刘徽以后，探究圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天，皮延宗等人。何承天求出的圆周率数值为3.1428，皮延宗算出圆周率值为22/73.14。

祖冲之指出自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩仅次于的学者是刘徽，但未超过准确的程度，于是他更进一步精益钻研，去探究更加准确的数值。根据《隋书律历志》关于圆周率（）的记述：宋末，南徐州专门从事史祖冲之，更加进密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七剌，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六剌，正数在盈朒二缩之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。大约亲率，圆径七，周二十二。

祖冲之把一丈化作一亿剌，以此为直径欲圆周率。他计算出来的结果共计获得两个数：一个是盈数（即不足的近似值），为3.1415927；一个是朒数（即严重不足的近似值），为3.1415926。盈朒两数可以列成不等式，如:3.1415926（*）（现实的圆周率）3.1415927（盈），这指出圆周率不应在盈朒两数之间。

按照当时计算出来都用分数的习惯，祖冲之还使用了两个分数值的圆周率。一个是355/113（相当于3.1415927），这一个数较为仪器，所以祖冲之称之为它为密率。

另一个是22/7（相当于3.14），这一个数较为粗疏，所以祖冲之称之为它为大约亲率。祖冲之在圆周率方面的研究，具有大力的现实意义，他的研究适应环境了当时生产实践的必须。他特地研究计量单位，后用近期的圆周率成果修正古代的量器容积的计算出来。

古代有一种量器叫作釜，一般的是一尺浅，外形呈圆形圆柱状，祖冲之利用他的圆周率研究，算出了准确的数值。他还新的计算出来了汉朝刘歆所造的律嘉量，利用祖率校正了数值。以后，人们生产量器时就使用了祖冲之的祖率数值。

数学杰作《折法术》祖冲之写出过《折法术》五卷，被收益值得一提的是的《算数经十书》中。《隋书》评论学官什能不谋而合深奥，故废而只顾，指出《折法术》理论十分深奥，计算出来非常仪器，学问很高的学者也容易解读它的内容，在当时是数学理论书籍中最好的一本。在《折法术》中，祖冲之明确提出了开劣幂和进差立的问题。劣幂一词在刘徽为《九章算术》所作的注中就有了，所指的是面积之差。

开差幂即是未知长方形的面积和长方形的差，用开平方的方法欲它的宽和长，它的明确求解早已是用二次代数方程解法正根的问题。而开差而立就是未知长方体的体积和宽、长、低的差，用开立方的办法来求它的边长；同时也还包括未知圆柱体、球体的体积来求它们的直径的问题。所用到的计算方法已成用三次方程解法正根的问题了，三次方程的求解以前没过，祖冲之的求解是一项先例。

《折法术》还曾流传至朝鲜和日本，在朝鲜、日本古代教育制度、书目等资料中，都曾提及《折法术》。《宋史楚衍传》中说于《九章》《缉古》《折法术》《海岛》诸算经尤得其智。天圣(1023-1031)初造新历。历法成就改革闰法在古代，中国历法家向来把十九年订为计算出来闰年的单位，称作一章，在每一章里有七个闰年。

也就是说，在十九个年头中，要有七个年头是十三个月，这种闰法仍然使用了一千多年。412年，北凉赵厞创作《元始历》，才超越了岁章的容许，规定在六百年中间放入二百二十一个闰月。

祖冲之汲取了赵厞的理论，再加他自己的仔细观察，指出十九年七闰的闰数过多，每二百年就要劣一天，而赵厞六百年二百二十一闰也不十分精确。因此，祖冲之明确提出了391年144闰月的新的闰法。祖冲之的闰周仪器程度极高，按照他的推算出，一个回归年的长度为365.2428141日，与今天的推算出值仅有差距46秒。

仍然到南宋的《统天历》，才使用了比这更加准确的数据。应用于岁差根据物理学原理，刚体在转动运动时，假如丝毫不不受外力的影响，转动的方向和速度应当是完全一致的；如果不受了外力影响，它的转动速度就要再次发生周期性的变化。地球就是一个表面凹凸不平、形状点状的刚体，在运营经常不受其他星球吸引力的影响，因而转动的速度总要再次发生一些周期性的变化，不有可能是意味著均匀分布完全一致的。

因此，每年太阳运营一周（实质上是地球绕行太阳运营一周），不有可能几乎返回上一年的冬至点上，总要差距一个微小距离。按现代天文学家的准确计算出来，约每年差距50.2秒，每七十一年八个月向移一度。这种现象叫做岁差。

随着天文学的渐渐发展，中国古代科学家们慢慢找到了岁差的现象。西汉的邓平、东汉的刘歆、贾逵等人都曾观测出有冬至点移的现象，不过他们都还没具体地认为岁差的不存在。到东晋初年，天文学家虞喜才开始认同岁差现象的不存在，并且首先主张在历法中引进岁差。

他给岁差明确提出了第一个数据，算数出有冬至日每五十年后退一度。后来到南朝宋的初年，何承天指出岁差每一百年劣一度，但是他在他所制订的《元嘉历》中并没应用于岁差。

祖冲之承继了前人的科学研究成果，不但证实了岁差现象的不存在，算数出有岁差是每四十五年十一个月前进一度，而且在他制作的《大明历》中应用于了岁差。首次明确提出交点月的计算出来祖冲之在我国天文学史上第一次明确提出，月亮陆续两次通过黄道、白道的同一交点的时间（即交点月）长度为27．2123日，与现今推算出值仅有差距十万分之一日，即将近1秒，由于日食、月食（总称交食），都再次发生在黄白交点附近，所以祖冲之的交点月长度对于日月食预报具备十分最重要的意义。推算交点月的日数以后，就更加能精确地推算日蚀或月蚀再次发生的时间。

祖冲之在他制定的《大明历》中，应用于交点月推算出来的日、月蚀时间比过去精确，和实际经常出现日、月蚀的时间都很相似。编纂《大明历》经过实际观测，祖冲之找到何承天所编的当时正在继续执行的《元嘉历》有许多错误，如日月方位距实测值已差距3度，冬至、夏至已劣了1天，五星的捕食已劣40余天，于是他著手编纂《大明历》。祖冲之在《大明历》的编撰中，区分了回归年和恒星年，最先将岁差引入历法，明确提出了用圭表测量正午太阳影长为先冬至时刻的方法，并使用了391年特144个闰月的新的闰周，推算一个回归年为365.24281481日。仍然到南宋的《统天历》，才使用了比这更加准确的数据。

天文成就祖冲之对木、水、火、金、土等五大行星在天空运营的轨道和运营一周所需的时间，也展开了观测和推算出，得出了更加准确的五星进发周期。中国古代科学家算数出有木星（古代称作岁星）每十二年运转一周。

西汉刘歆不作《三统历》时，找到木星运转一周严重不足十二年。祖冲之展开了新的测量，得出结论木星每84年超辰一次的结论，即定木星公转周期为11.858年（今测为11.862年）。并得出结论更加准确多五星进发周期，木星398.903日（误差0.019日），火星780.031日（误差0.094日），土星378.070日（误差0.022日），金星583.931日（误差0.009日），水星115.880日（误差0.002日）。机械制造祖冲之设计生产过水碓篦、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等。

在中国古代指南车的名称由来已久，但其机制结构则未见流传。三国时代的马钧曾建指南车，至晋再度亡失。东晋末年刘裕攻打长安，得后秦统治者许多器物，其中也有指南车，但机数不炼，虽曰指南，多不审正，回曲步骤，犹须人功正之。南朝宋昇清年间(477-479年)萧道成辅政，使冲之追修古法。

冲之改建铜机，圆转不穷而司方如一，马钧以来仍未也。祖冲之所制指南车的内部机件仅有是铜的，它的结构精致，运转灵活性，无论怎样弯道，木人的手经常指向南方。祖冲之改进了水碓篦。在西晋初年，杜预改良发明者了连机碓和水并转连磨。

一个连机碓能造就好几个石杵一起一落地孱米；一个水转连磨能造就八个篦同时磨粉。祖冲之又在这个基础上更进一步加以改进，把水碓和水磨融合一起，生产效率就更为提升了。这种加工工具，中国南方有些农村还在用于着。

祖冲之还设计生产过一种千里船，史载又建千里船，于新亭江试之，日行百余里。它有可能是利用轮子激水行进的原理导致的，一天能行一百多里。

祖冲之曾生产过欹器。这种器具用来丰水中则于是以，剩则悬，古人经常摆放在身边以自警，晋时杜预有巧思，建欹器三改为不成。

南齐永明年间竟陵文宣王萧子良好古代，冲之造欹器献之。其他成就祖冲之的成就不仅仅限于自然科学方面，他还通晓乐理．对于音律很有研究。祖冲之又着有《易义》《老子义》《庄子义》《释论语》等关于哲学的书籍，都早已亡佚了。文学作品方面他着有《述异记》，在《太平类聚》等书中可以看见这部着作的段落。

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